追求完整的無理數：挑戰手機計算器的極限

作者：姬揚

無理數是不能表示為兩個整數之比的數，似乎有些“不講道理”。很多無理數可以通過基礎運算變成有理數或整數，而有些則無論怎樣努力都不能變“完整”。本文介紹一個無理數，它本身即為三個無理數的組合，研究人員通過一個復雜的公式運算也隻能得到它的近似值。但更重要的是，我們可以通過手機計算器來驗證！

撰文 | 姬揚（中國科學院半導體研究所）

我們都知道，無理數（irrational number）“不講理”。按整數標準，它們大多身形殘缺，但是它們中間有很多數很有理想，總是想追求完整：有的是靠自己，有的是靠同志。

比如說，

是無理數，

可能也是無理數，但是

就是整數瞭，而且它很“2”。

再比如說，自然常數 e 和圓周率 π 都是無理數，但是隻需要一個虛數的幫助，它們就可以變成整數：e^iπ=-1；結果是個負整數，它還不夠“2”，否則就會有 e^2iπ=1。

當然，不是所有的努力都能夠功德完滿。自然常數 e、圓周率 π 和 163 的平方根（

），它們也努力過追求完整，可惜就差瞭那麼一點點，很小的一點點。

多小的一點點呢？

它跟整數的差別在於小數點後第 13 位，也就是說，小數點後經過瞭 12 個 9，才變成瞭 2。

為什麼這樣呢？這裡面有一套很復雜的數學理論，我也看不懂，但是可以引用一個公式：

它是否正確，我們可以用計算器檢驗一下。

手機的計算器很強大，特別是它的科學計算器模式。例如它可以輕松地把圓周率 π 的值算到小數點後一百位。

為瞭便於大傢親自檢驗，我會介紹詳細的操作過程。首先，打開手機自帶的計算器（我的手機是華為 P30），它有兩個模式 —— 豎版的“標準計算器”和橫版的“科學計算器”，可以任意地選擇切換。

進入“科學計算器”，就自動切換到橫版，上方是兩行的顯示屏，下方是鍵盤。按“π”鍵，π 就出現在顯示屏的第一行，同時在第二行顯示出它的數值，“3.1415...1971”。這一行可以顯示 42 個數字或字符。通過觸屏操作，我們可以對數字進行復制粘貼操作。

現在，我們來驗證手機自帶的 π 究竟算到瞭多少位。用 π 減去剛才得到的 42 位數字，即“π-3.1415…1971”。

按鍵盤的減號鍵“-”，顯示屏的第一行就變為“π-”。用手指按第一行，會出現一個陰影區覆蓋瞭所有的數字，同時出現兩個鍵“復制”和“粘貼”；選擇“粘貼”（註意，要保證光標位於這一行的最右邊），就可以得到結果。

繼續同樣的操作，可以得到更多的位數。

從菜單裡選擇“歷史紀錄”，可以找到以前做的計算，比如說我剛做的把 π 算到 100 位。

算得對不對呢，我從網上找瞭 π 值小數點後 200 位，如下：

π= 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 。

跟上面的圖片對照一下就可以看到，手機計算器的結果有 115 位小數，全部正確。使用這一方法顯然還可以算更多位，但是究竟能算多少位，我沒有試驗，畢竟用手機操作復制和粘貼太麻煩瞭。

值得一提的是，這個表現比我的 PC 電腦系統附帶的計算器厲害。利用類似的操作，PC 系統的計算器可以得到“π= 3.14...... 6939931148 ”（第 41-50 位應該是 6939937510），從小數點後第 47 位開始就錯瞭。

電腦計算器計算 π-3.141…2795 的值，在第 47 位時錯誤。

網上的 π 值就一定正確嗎？它可能是正確的，也有可能手機計算器特地保留瞭 π 的很多位數，也許藏在哪裡備用呢。

接下來，讓我們算算

—— 想必這個數是不會預存的。結果發現，兩個計算器的表現還是不一樣。仔細觀察可以看出，兩部計算器的第一次計算結果應是相同的：計算機的結果最後的 4 位數字是 9871；而手機對應的位置是 9870，其後面還有 9 個數字“892347382”。當用電腦計算器做減法後，得到的結果是“-1.076524...”，前面還有一個負號。考慮到負號，這兩個計算結果一直到我們手機顯示的倒數第三位，也就是 3（手機計算）和 4（電腦計算），這裡確實有差別。我覺得，相比於電腦，我們還是相信手機好瞭，畢竟它給出的位數更多，而且計算的 π 值也跟網上的結果一樣。

電腦計算器計算

-12.767…781（

的 30 位小數近似值）的結果。

手機計算器計算

的結果，有 39 位小數。

最後，我們算一算

。先把前面的公式再復習一遍：

我用手機自帶的科學計算器做瞭幾個不同的計算，分別是直接計算

的值（用前文的方法）和用公式近似計算，結果如下：

①直接計算

，得到 18 位整數和 23 位小數：最開始的 12 個小數都是 9，第 13 個是 2。

②計算公式的一級近似，也就是第一項的貢獻。

③計算公式的二級近似，也就是前兩項的貢獻。

④計算公式的三級近似，也就是前三項的貢獻。

⑤第二次直接計算，這次算的是

減去 18 位整數和小數點後的 12 個 9。

⑥第三次直接計算，這次算的是

減去第一次直接計算得到的結果，也就是 18 位整數和小數點後的 23 位小數。

⑦第四次直接計算，

減去第一次直接計算和第三次直接計算的結果，得到瞭小數點以後的 99 位小數。

簡單分析可以得出：直接計算（①）最簡單也最粗糙，但是已經得到瞭 e、π 和

這三個無理數合作追求完整的全過程；公式沒有告訴整數是多少（這個很容易算的），但是給出瞭更多更精確的小數位（②、③、④）；計算器比這個公式的前三項還要強大（⑤和⑥），甚至能夠計算到小數點後 99 位（⑦）。用兩種計算的結果（用公式計算和直接計算）符合得很好，因此我們相信手機計算的結果是正確的。

我也用電腦的計算器算過，雖然也能見證它們仨追求完整的過程，但是在小數點後幾十的地方，仍然給出瞭不同的結果。

最後再談談這個公式。

非常接近整數這件事，在一些講計算數學的書裡提到過，有時候用作例子說明計算的精度和穩定性。然而，關於它為什麼這麼接近整數，講得就很少瞭。而且基本上都是先說，這個道理給普通人是講不明白的，因為要涉及橢圓曲線、模形式以及其他一些理論。

我找到瞭一篇介紹性的文章 [1]，看得一頭霧水，但也不是沒有收獲。除瞭找到前面用的那個公式以外，我還發現 —— 可能大傢也都知道 —— 數學傢的數學雖然很好，但是他們算術不一定強，經常會搞錯個符號之類的。正如文中所示，作者在歡呼成功之前的最後兩行公式中“196884”前面的符號不一樣，肯定有一個是錯的 —— 而且我肯定，是最後那行裡的錯瞭。

“大行不拘細謹，大禮不辭小讓。”連數學傢都不免犯錯，三個努力追求完整的無理數最後沒有取得特別完滿的結果，也就不那麼令人意外瞭。

的各種近似值，最後一個有 99 位小數。